Знакомство школьников с понятием теорема

Вы точно человек?

знакомство школьников с понятием теорема

теоремы Больцано и Вейерштрасса о свойствах непрерывных функций на отрезке, Для этого от учащихся требуется владение основными понятиями и алгебры от школьной алгебры; абстрактность понятий высшей алгебры; предварительного знакомства со всем курсом алгебры, включая теорию. Разумеется, знакомство с доказательством дает возможность убедиться в Как показали исследования, это доступно (в пределах школьных теорем) уже в IV что отрезки равны, значит подвести под понятие «равные отрезки»;. определение понятия «теорема»; структуры формулировки теорем, приведите примеры теорем школьного курса математики разных структур. способа знакомства учащихся с фактом, описанном в теореме;.

Об аксиоматическом построении курса, обеспечивающем болев высокий уровень строгости изложения доказательств, авторы говорят, что ". Бескин в работе 3. II рекомендует основным методом изложения теорем избрать генетический метод. Автор ставит вопрос о целесообразности сообщения учащимся сведений по логике, так как ". В связи с этим в работе впервые выделяется необходимый минимум логического материала, который излагается с широким привлечением наглядности диаграмм Эйлера-Венна, различных схем.

Однако в пособиях недостаточно полно раскрыта логико-математическая структура доказательства приведением к противоречию, не выделяются схемы рассуждений при различных методах доказательств. В главе ХШ этой работы "Методика преподавания наглядной геометрии", написанной А.

Астрябом, предлагается методическая концепция обучения обоснованию утверждений, в которой ученики строят логически обоснованные высказывания о свойствах изучаемых фигур, ".

Вы точно человек?

Брадис объясняет трудность первых логических шагов по усвоению доказательств теорем ". По мнению автора, обучение доказательству необходимо осуществлять в несколько этапов. На первом этапе умело и почаще использовать интуицию, наглядность, опыт и моделирование, выяснение возможности опытной проверки заключения и недостаточности этой проверки.

На последующих этапах "идет расчленение всего рассуждения на отдельные умозаключения этапы, шаги с четким обоснованием каждого. В этой работе лишь перечисляются такие вопросы, как предложения обратные, противоположные, обратные противоположным, условия необходимые и достаточные. Не раскрывается характеристика методов доказательства.

Формирование понятия функции в средней школе

Широкий круг вопросов по методике обучения доказательству рассматривается в методике В. Рекомендуется шире применять наблюдение и опыт, упоминается о существовании различных методов доказательства. Важным шагом при разработке методики доказательств является выделение правил доказательства теорем, "вытекающих из сущности математических доказательств". Повторение теорем рекомендуется проводить с использованием упражнений на составление "родословных" теорем.

При изложении методов доказательств В. Репьев не ограничивается только их перечислением и демонстрацией на примерах, после описания сущности каждого метода вводится схема его применения.

Шидловской по обучению школьников доказательству теорем, изложенная в книге 3. Первый этап индуктивное восприятие содержания теоремы осуществляется такими путями: I рассмотрение наглядных подвижных моделей или ряда чертежей; 2 выполнение построений; 3 проведение измерений; 4 решение задач на вычисление; 5 решение задач на отыскание некоторых зависимостей.

После усвоения содержания теоремы следует давать ее формулировку второй этап. На этом этапе "самое главное - это различение условия и заключения теоремы". Следующий этап - усвоение доказательства. Работа по усвоению доказательства теоремы должна осуществляться аналитически, так как "для усвоения смысла доказательства. Для лучшего уяснения доказательства, пишет В.

Чичигин, важное значение имеют правильная постановка проблемы, раскрытие идеи доказательства и предупреждение возникновения ошибок см. Пойа в книге 3. Процесс решения задачи он подразделяет на четыре этапа, составляющие четыре части "таблица Пойа" понимание постановки задачи; составления плана решений; осуществление плана; изучения полученного решения. В каждой части таблицы ставится ряд вопросов, возникающих в процессе решения задачи.

Ответы на эти вопросы содержатся в книге в виде "краткого эвристического словаря", который составляет основное содержание книги. Василевский в книге 3. Колягин процесс решения задачи разбивает на четыре этапа: При обучении доказательству, считает И. Тесленко, важно обеспечить правильный переход от "единичного" или "отдельного" рисунок, модель фигуры и. Раскрытие при доказательствах связей между "отдельным" и "общим" содействует осуществлению процесса обобщения, то есть осуществлению "обогащения понятия признаками, свойствами, определениями" 3.

Существенная роль при этом принадлежит раскрытию структурных особенностей понятий, обучению правильному пользованию простыми умозаключениями, раскрытию структуры геометрических утверждений. Автор разработал конкретные методические приемы работы - 13 учителя по обучению доказательствам: I решение подготовительных упражнений, имеющих задачей постепенный охват круга вопросов, возникающих при доказательстве некоторой теоремы или группы теорем; 2 постановка проблемных ситуаций; 3 ознакомление учащихся с алгоритмами определения понятий и доказательства теорем, то есть "с тем, в какой последовательности выполнять логические операции, из которых состоит доказательство теоремы, чтобы вывод теоремы стал очевидным" 3.

Для воспитания у учащихся потребности в доказательстве введение теоремы полезно начинать с задач практического характера. Однако " в некоторых случаях целесообразно до введения теоремы ставить перед учащимися и задачи абстрактного характера, решение которых может привести их к самостоятельному установлению нужной теоремы".

Введение теорем, поиски доказательств нужно строить так, чтобы "учащиеся сами обнаруживали это доказательство, "открывая" его вслед за "открытием" теоремы".

Отдельным вопросом рассматривается пропедевтика обучения учащихся доказательству утверждений. Обучение пониманию структуры доказательств, по мнению авторов, следует осуществлять путем решения упражнений, раскрывающих структуру доказательств и связи между суждениями в процессе доказательства утверждений.

Среди важных средств укрупнения единиц усвоения геометрических знаний при доказательствах выделяются: Столяр формулирует такие требования, необходимые при обучении учащихся доказательствам: I школьный курс геометрии ни на одном этапе обучения не строится как формальная дедуктивная система и всегда остается в рамках содержательной модели; 2 в школьных доказательствах теорем неизбежны интуитивные элементы; 3 понимание потребности в логическом доказательстве лучше достигается на неочевидных примерах.

В обучении доказательствам выделяются два уровня: I - кл. На этом уровне ученикам становится доступным анализ доказательства, выявление его логической структуры и используемых в. Метельский отмечает, что "знакомство школьников с различными методами доказательства. Достижению этой цели способствует знание и применение определенных правил доказательства.

Артемов в работе 3. Выделены правила доказательства некоторых груш теорем. Конечная цель работы состоит в том, "чтобы научить школьников самостоятельному использованию такого правила, то есть сформировать у них обобщенный прием работы". Однако в работе рассмотрены только "похожие" теоремы в рамках одного параграфа или раздела. Специальные пособия для учителей по данной проблеме, в основном, разработаны по программам, действовавшим до г.

Притуло в книге 3. Методика обучения доказательству, по его мнению, должна состоять из четырех частей: Автор впервые поднимает вопрос о воспитании у учащихся потребности в доказательстве как специальную проблему методики. Пути решения этой проблемы также предложены: Содержание этих приемов различно использование оптических иллюзий, подбор задач на доказательство, таких, где невозможны точные измерения и.

Однако приемы, основанные на принципе "посеять сомнение", кроме достоинств имеют и существенные недостатки, так как у учащихся складывается отрицательное отношение к интуиции, роль которой в математике неоспорима; возникает недоверие к результатам опыта, на который приходится опираться при изучении математики в 8-летней школе. Кроме того, реализовать данные приемы не для каждой теоремы.

Всякий раз необходимо исходить из "индивидуальных особенностей каждой теоремы, из учета конкретных условий, позволяющих обосновать сомнения, сделать их законными в глазах учащихся" 3.

Аналогичные приемы воспитания у учащихся потребности в доказательстве рекомендует Н. Рассматривая задачи на доказательство, наряду с другими видами задач, Ф. Семенович в работе 3. Сущность подхода, предложенного А. Кузьминой, заключается в составлении специальных упражнений, подготавливающих учащихся У1 класса к восприятию наиболее трудных теорем курса 3.

Данилова считает, что в начале обучения доказательствам целесообразно использовать индуктивный метод. В связи с этим в урок геометрии должен быть внесен творческий элемент" 3.

В ее работах приведены общие методы обучения отысканию путей доказательства, сделана попытка систематизировать имеющиеся правила и указания для учащихся. Фирсов, говоря о методических особенностях обучения доказательству учащихся по учебному пособию 3. Погорелова, указывают, что доказательства в книге ради логической его строгости и полноты приведены со всеми необходимыми аргументами.

Изучение теорем в школьном курсе математики

Поэтому оно выглядит громоздким и вряд ли окажется понятным учащимся: Но это иготовоб доказательство, воспроизведением которого должно заканчиваться изучение геометрии. На уроке же рекомендуется поступить так: Наконец, в третьем проходе доказательство воспроизводится полностью в том виде, как оно приведено в учебнике 3.

Аксиомы подаются как хорошо известные учащимся свойства геометрических фигур".

знакомство школьников с понятием теорема

Доказательства первых теорем приводятся в иллюстративном плане. Предполагается, что в начале учащиеся будут осваивать непривычные для них схемы рассуждений и словесные конструкции, действия по образцу, то есть повторять сказанное написанное на доске учителем и воспроизводить текст учебника; на дом следует давать задачи, аналогичные решенным на уроке см.

знакомство школьников с понятием теорема

Из приведенного обзора литературы следует, что доказательство занимает важное место в школьном математическом образовании, а проблема обучения учащихся доказательству широко освещена в методической литературе. Однако эта проблема применительно к курсу геометрии в восьмилетней школе, где закладывается фундамент обучения доказательству, не получила до сих пор удовлетворительного, пригодного для широкой практики обучения, решения.

Многие же из тех решений, которые предлагались, не реализованы в практике обучения, в частности потому, что они не были достаточно конкретизированы или же, наоборот, некоторые решения были жестко привязаны к определенному школьному учебнику, в результате чего появление нового учебника вновь порождало эту проблему. Следует также отметить, что в литературе встречаются лишь упоминания о необходимости формирования у учащихся 1У-У1 классов потребности в обосновании истинности утверждений или отдельные примеры, однако исследование не доведено до описания системы такой работы.

Таким образом, проблема обучения учащихся доказательствам теорем в курсе геометрии восьмилетней школы является актуальной. Проблемой нашего исследования и является обучение учащихся доказательству в курсе геометрии восьмилетней школы.

Предметом исследования являются структуры доказательств теорем школьного курса геометрии У1-УШ классов и умение доказывать.

знакомство школьников с понятием теорема

Объектом исследования является обучение учащихся геометрии в У1-УШ классах. Цель исследования - определение реальных возможностей совершенствования обучения учащихся доказательству в курсе геометрии У1-УШ классов и разработка методики их реализации. Гипотеза данного исследования заключается в том, что с помощью разработанной методики и средств обучения можно совершенствовать умения учащихся проводить доказательства геометрических утверждений.

В соответствии с целью и проблемой исследования были поставлены следующие задачи: При решении поставленных задач были использованы следующие методы исследования: Научная новизна исследования заключается в следующем: Практическая ценность работы заключается в том, что разработанная система упражнений может непосредственно использоваться в практике обучения. Кроме того, по описанной в диссертации методике учителя могут сами составлять подобные упражнения. Разработанные методические требования к системе упражнений можно реализовать при изучении курса планиметрии восьмилетней школы.

По существу диссертационного исследования автор выступал на: В-третьих, понятие вектора является важным понятием школьного курса физики и играет существенную роль в межпредметных связях математики и физики. В этих работах исследовались межпредметные связи физики и математики, вопросы систематизации и закрепления знаний при изучении векторов, использование векторов при решении геометрических задач.

Целью работы является разработка методики, которая позволила бы избежать устойчивых затруднений, возникающих у учеников при введении понятия вектора и изучении его свойств. Объектом исследования является процесс обучения геометрии в основной школе.

Гипотеза исследования заключается в том, что приложенный в 7 4 исследовании способ введения понятия вектора и разработанные на основе деятельностного подхода JI. Цель, проблема, предмет и гипотеза исследования определили следующие задачи исследования. Это первая задача исследования. Процесс обучения в большой мере определяется тем, какая психологическая теория лежит в основе организации усвоения.

Поскольку, как уже отмечалось, определение вектора как направленного отрезка приводит к появлению устойчивых недостатков, возникла необходимость найти такой способ введения понятия вектор, который позволяет доступно и математически корректно сформировать у учеников данное понятие.

Это третья задача исследования. Отсюда следует пятая задача исследования: Методологической основой исследования явились: Преодолены недостатки введения понятия вектора; дано описание, позволяющее сделать так, чтобы вводимое понятие было математически корректно и, вместе с тем, оказалось в зоне актуального развития ученика.

В частности, удалось найти доказательства, которые позволили не рассматривать весьма трудные для учеников частные случаи. В соответствии с рекомендациями психологов формулировки определений и теорем структурированы, что сделало их существенно более понятными ученикам и удобными для оперирования.

Теоретическая значимость проведенного исследования определяется тем, что разработаны методические подходы, позволяющие не только дать доступное ученикам, математически корректное описание понятия вектора и более естественные и простые для учеников доказательства векторных теорем, но и способствующие обучению поиску доказательств.

Материалы предлагаемого исследования обсуждались на научно-практической конференции по итогам научной работы МПГУ, апрель г. Гальперина февраль г. Диссертация состоит из введения, двух глав, заключения, библиографии. Первая задача нашего исследования решена в первой главе работы: Между тем, как следует из работ А.

Было установлено, что делались многочисленные попытки дать корректное определение понятия вектора. Все эти попытки оказались неудачными. Установлено, что повсеместно используется ассоциативная теория усвоения. Анализ литературы показал, что более эффективной теорией усвоения является деятельностный подход J1. В частности, были найдены более простые, чем описанные в литературе, доказательства некоторых векторных теорем: Это позволяет обеспечить активное участие учеников в работе с определениями и теоремами темы.

Таким образом, решена проблема исследования. Проведенное исследование позволяет предположить, что использование таких средств обучения, как рабочие тетради, мультимедийное обеспечение, позволят реализовать деятельностный подход при изучении практически всех тем школьного курса математики.

В перспективе считаем целесообразным реализовать разработанную в исследовании методику организации усвоения основных тем курса геометрии основной школы. Актуальные проблемы преподавания математики в школе и ВУЗе. Тверской государственный университет, Учебные материалы для учащихся X класса. Геометрия для классов: Учебное пособие для учащихся школ и классов с углубленным изучением математики. Применение векторов к решению геометрических задач.

Методические рекомендации в помощь учителю общеобразовательной школы. Изучение геометрии в классах. Учебник для классов общеобразовательных учреждений. Система изучения векторов на факультативных занятиях как пример осуществления межпредметных связей дисциплин естественно-математического цикла: Просвещение, —. Учебник для классов общеобразовательных учебных учреждений. Учебные материалы по геометрии для экспериментальных классов. Пробный учебник для классов. Векторы в курсе геометрии средней школы: Векторы в школьном курсе геометрии.

Учебное пособие для 9 класса средней школы. Векторы в курсе геометрии средней школы. Вопросы введения современных идей математики в школу. Гальперина; - исследования педагогов по реализации оптимизации учебного процесса; - разработки в области педагогики и методики обучения математике по формированию приемов учебной деятельности и дидактических средств управления этой деятельностью. Преодолены недостатки введения понятия вектора; дано описание, позволяющее сделать так, чтобы вводимое понятие было математически корректно и, вместе с тем, оказалось в зоне актуального развития ученика.

В частности, удалось найти доказательства, которые позволили не рассматривать весьма трудные для учеников частные случаи. В соответствии с рекомендациями психологов, формулировки определений и теорем структурированы, что сделало их существенно более понятными ученикам и удобными для оперирования. Разработаны средства обучения, позволяющие организовать собственную работу учеников, обеспечивающую адекватное оперирование с новыми знаниями. Теоретическая значимость проведенного исследования определяется тем, что разработаны методические подходы, позволяющие не только дать доступное ученикам, математически корректное описание понятия вектора и более естественные и простые для учеников доказательства векторных теорем, но и способствующие обучению поиску доказательств.

Обоснованность и достоверность результатов исследования обеспечивается: Материалы предлагаемого исследования обсуждались на научно-практической конференции по итогам научной работы. Mill У, апрель г. Гальперина февраль г.

Диссертация состоит из введения, двух глав, заключения, библиографии. Во введении обоснована актуальность исследования; определена проблема научного поиска; намечены задачи теоретического и экспериментального характера; установлены объект, предмет и гипотеза исследования; показаны новизна, теоретическая и практическая значимость; сформулированы положения, выносимые на защиту.

В этой главе проанализировано, как осуществлялось проникновение векторного метода в школы нашей страны. Яглома, которое, до появления учебника этих же авторов, раскрывала учителям возможные способы определения понятия вектора. В данном пособии авторы рассмотрели наиболее возможные в школьном курсе планиметрии способы определения этого понятия. В частности, они аргументировали отказ от определения вектора через параллельный перенос, так как представление о векторе как о геометрическом преобразовании представляется им недостаточно наглядным и далеким от физических представлений о векторных величинах.

Авторы приняли в качестве основного следующее определение вектора: И считают, что разумнее всего определять в школе вектор как направленный отрезок. Но при этом отмечают, что учитель должен понимать разницу между понятиями вектора и направленного отрезка. В учебнике тех же авторов, который вышел в году, вектор введен как направленный отрезок. Яглом вновь предупреждают о тех трудностях, которые неизбежно возникнут, если определить вектор как направленный отрезок.

К примеру, о том, что при таком определении вектора происходит подмена математических понятий, а именно подмена понятия равенства понятием эквивалентности. К сожалению, в данном пособии авторы не сообщают, как избежать таких трудностей. Яглома просуществовал в школе только два года и авторы не успели внести какие-либо уточнения в определение понятия вектора.

К началу г. Колмогорова, а в х годах под его редакцией появляются учебные пособия по геометрии для классов. В курсе геометрии, разработанном под руководством А.

Колмогорова, вектор определялся как параллельный перенос: Он выбрал наиболее доступное, по его 1 Болтянский В. Но данное определение вектора также нельзя признать удачным. Оно, как и предупреждали В. Яглом, оказалось недоступным ученикам. Данный курс геометрии и, в частности, определение понятия вектор, вызвал бурную критику со стороны учителей, методистов, родителей, а также со стороны Отделения математики АН СССР.

К сожалению, предостережение А. Колмогорова о том, что определение вектора как направленного отрезка математически некорректно не нашло отражения в школьных учебниках, включая ныне действующие. На наш взгляд причина этого в том, что не удалось сформулировать одновременно и математически корректное, и доступное ученикам определение понятия 1 вектора. Нельзя не согласить с точкой зрения В. При этом два вектора считаются равными, если имеют одну и ту же длину и направление.

Однако такое определение равенства векторов не вполне корректно, так как тем самым отождествляются два хотя и родственных, но различных понятия: Полагаем, что имеет смысл прислушаться к мнению В.

Рыжика, который считает, что на вопрос о том, как преодолеть возникающие трудности, должны дать ответ методисты. Как возможный вариант решения он предлагает поступиться логической безупречностью при начальном введении понятия, если только это не приводит к прямым ошибкам.

Именно по этому пути мы пошли во второй главе исследования, отказавшись от строгого определения понятия вектора. В действующих учебниках определение вектора практически одинаково. Установлено, что такие свойства векторов как свойства суммы векторов, I произведения вектора на число и .